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Matemática II

Código:

LEM12107

Sigla:

MAT II

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2021/2022 - 2S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.ips.pt/2122/course/view.php?id=310
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia Mecânica

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
EM	124	Plano de Estudos	1	-	6	75	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

O objectivo desta UC é proporcionar aos estudantes conhecimentos básicos da álgebra linear e competências para lidar com os mecanismos do cálculo diferencial em campos escalares e vectoriais, ferramentas matemáticas de grande importância na formação profissional de um técnico superior ou engenheiro.

Resultados de aprendizagem e competências

Em cada tópico, os estudantes deverão adquirir as seguintes competências:

1 – Matrizes
a) Saber efectuar operações algébricas com matrizes e perceber a definição de inversa de uma matriz. Perceber e saber aplicar as propriedades das operações algébricas e da inversa.
b) Perceber a noção e saber estudar a dependência e independência linear das linhas e colunas de uma matriz. Saber calcular a característica de uma matriz, usando operações elementares.
c) Saber resolver e discutir um sistema de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss. Saber averiguar se uma matriz é invertível e calcular a sua inversa.

2 – Determinantes
a) Perceber a definição de determinante e as suas propriedades e saber aplicar os vários métodos de cálculo de determinantes.
b) Saber calcular a adjunta de uma matriz, averiguar se uma matriz é invertível e calcular a sua inversa usando determinantes. Saber usar a Regra de Cramer.

3 – Valores e Vectores Próprios
a) Perceber as noções de valor e vector próprio de uma matriz.
b) Saber calcular os valores e os vectores próprios de uma matriz.

4 – Cálculo Vectorial
a) Perceber as noções de produto interno de vectores, norma e versor de um vector, saber calculá-los e aplicar as suas propriedades.
b) Saber determinar o ângulo entre dois vectores, a projecção ortogonal e averiguar se um conjunto de vectores é ortogonal ou ortonormado.
c) Perceber as noções de produto externo e produto misto de vectores, saber calculá-los e aplicar as suas propriedades.

5 – Cálculo Diferencial em IRⁿ
a) Compreender as noções de campos escalares e vectoriais e saber estudar conjuntos e superfícies de nível.
b) Saber calcular limites e estudar a continuidade de campos escalares e de campos vectoriais.
c) Compreender as noções de derivadas parciais, diferenciabilidade, derivada dirigida e vector gradiente de campos escalares e as suas propriedades e saber calculá-las/estudá-las. Saber determinar as equações do plano tangente e da recta normal.
d) Saber estudar a diferenciabilidade, calcular a matriz Jacobiana e derivadas dirigidas de campos vectoriais. Saber calcular a divergência e o rotacional.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conhecimentos adquiridos na UC Matemática I das actuais licenciaturas (note-se que Elementos de Matemática I e Elementos de Matemática II dos CTeSP são, em conjunto, equivalentes a Matemática I).

Programa

1 – Matrizes
a) Definição de matriz; operações algébricas com matrizes; matriz inversa.
b) Dependência e independência linear das linhas e colunas de uma matriz; característica de uma matriz e operações elementares.
c) Sistemas de equações lineares; inversão de matrizes.

2 – Determinantes
a) Definição de determinante, suas propriedades e métodos de cálculo.
b) Aplicações dos determinantes: cálculo da matriz inversa utilizando a matriz adjunta; regra de Cramer.

3 – Valores e Vectores Próprios
a) Definição e interpretação geométrica de valor e vector próprio de uma matriz.
b) Método de cálculo dos valores e vectores próprios de uma matriz.

4 – Cálculo Vectorial
a) Produto interno de vectores; norma e versor de um vector e suas propriedades.
b) Ângulo e projecção ortogonal entre dois vectores; vectores ortogonais e ortonormados.
c) Produto externo e produto misto de vectores: definição, propriedades e aplicações.

5 – Cálculo Diferencial em IRⁿ
a) Campos escalares e vectoriais; conjuntos e superfícies de nível.
b) Limites e continuidade de campos escalares e de campos vectoriais.
c) Derivadas parciais, diferenciabilidade, derivada dirigida e vector gradiente de campos escalares; equações do plano tangente e da recta normal.
d) Diferenciabilidade, matriz Jacobiana e derivada dirigida de campos vectoriais; operadores divergência e rotacional.

Bibliografia Obrigatória

Apontamentos e exercícios; elaborados por docentes do Departamento de Matemática (Disponíveis na página da UC no Moodle)

Bibliografia Complementar

Giraldes, E., Fernandes, V. H. e Smith, M. P. M.; Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill, 1995. ISBN: 972-8298-02-1
Luz, C., Matos, A. e Nunes, S.; Álgebra Linear (Volume I), ESTSetúbal/IPS, 2002. ISBN: ISBN 972-8431-16-9
Azenha, A. e Jerónimo, M. A.; Cálculo Diferencial e Integral em R e Rn, McGraw-Hill, Portugal, 1995, ISBN 972-8298-03-X., McGraw-Hill, Portugal, 1995. ISBN: 972-8298-03-X
Monteiro, A., Pinto, G., Marques, C.; Álgebra Linear e Geometria Analítica: problemas e exercícios, McGraw-Hill, 1997. ISBN: 972-8298-66-8
Strang, G.; Linear algebra and its applications, Fort Worth: Saunders, 1988. ISBN: 0-15-551005-3 (Aconselhada a estudantes que não percebam português)
Apostol, T.; Calculus, Vol. II, Blaisdell Publishing Company, Massachusetts, 1969. ISBN: 0-471-00008-6 (Aconselhada a estudantes que não percebam português)
Laudesman, E. M. e Hestenes, M. R.; Linear Algebra for Mathematics, Science and Engineering, Prentice─Hall International, New Jersey, 1992. ISBN: 978-3-030-21323-7 (Aconselhada a estudantes que não percebam português; não está disponível na Biblioteca)

Observações Bibliográficas

Todos os livros indicados na Bibliografia Complementar estão disponíveis na Biblioteca da ESTSetúbal, com excepção do livro onde é explicitamente indicado o contrário.

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

A UC Matemática II tem uma carga letiva de 5 horas semanais, distribuídas por 3 horas de aula teórico-prática (TP) e 2 horas de aula prática-laboratorial (PL).

Nas aulas TP serão apresentados os conceitos fundamentais dos diferentes tópicos do programa da UC, demonstrados alguns resultados e resolvidos exercícios que ilustram os assuntos abordados. Neste tipo de aulas, os estudantes deverão adquirir uma visão global dos temas e das suas interligações, acompanhada de uma formulação correcta e objectiva das definições e propriedades e da prática do raciocínio dedutivo.

Nas aulas PL os estudantes realizarão, sob a orientação do docente, um conjunto de exercícios, com vista a uma compreensão mais aprofundada dos temas tratados e uma maior consolidação dos conhecimentos.

Caberá ao estudante, à posteriori, realizar um estudo autónomo sobre os temas abordados e aprofundar o seu conhecimento, recorrendo ao material de estudo recomendado na bibliografia da UC e ao apoio dos docentes da UC nos respetivos horários de atendimento.

A UC terá toda a informação e materiais específicos (nomeadamente, slides onde são expostos os conteúdos da UC e fichas de exercícios) centralizados na plataforma Moodle. Com vista à consolidação dos conhecimentos serão facultados aos estudantes 3 testes formativos de escolha múltipla, nesta plataforma.

Observações

As turmas em horário diurno terão as aulas em regime presencial.

A turma em horário pós-laboral terá as aulas TP e PL em regime de ensino à distância, na plataforma Microsoft Teams, na equipa Matemática II 21/22 (nos canais específicos para as aulas TP e para as aulas PL).

Pretende-se que as aulas desta turma sejam tão aproximadas quanto possível do ensino presencial, com a explicação da matéria seguida da resolução de exercícios.

Esta turma é especialmente dirigida aos estudantes que, tendo já frequentado a UC, poderão beneficiar destas aulas por terem sobreposição de horários, incompatibilidade com o horário de trabalho ou alguma restrição na sua mobilidade. Embora se entenda que para os estudantes que frequentem a UC pela primeira vez as aulas presenciais são mais adequadas, por permitirem outra interacção, estes estudantes também poderão inscrever-se na turma pós-laboral (a inscrição nestas turmas segue o procedimento usual).

Sugere-se que estudantes que estejam em confinamento/isolamento assistam às aulas desta turma enquanto estiverem com a sua mobilidade condicionada, para o que podem solicitar a sua inscrição temporária nos canais na turma, através dos emails ana.matos@estsetubal.ips.pt (aulas TP) e maria.ribeiro@estsetubal.ips.pt (aulas PL).

Qualquer outra questão sobre esta turma poderá ser colocada para o email ana.matos@estsetubal.ips.pt.

 

Tipo de avaliação

Avaliação por exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Exame	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	87,00
Frequência das aulas	75,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

A aprovação pode ser obtida quer por avaliação contínua quer por avaliação por exame.
Não havendo indicação em contrário por parte dos órgãos competentes, os testes e exames serão em modo presencial.

Avaliação Contínua
A avaliação contínua tem por base a realização de dois testes (cujas notas são consideradas arredondadas às décimas).
As condições da avaliação contínua são as seguintes:
- se a média (arredondada às unidades) das classificações dos testes for maior ou igual a 10 e inferior a 18, o estudante é aprovado com nota final igual à referida média, desde que em qualquer dos testes a nota tenha sido maior ou igual a 6.5;
- se a média (arredondada às unidades) das classificações dos testes for maior ou igual a 18, o estudante terá que apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média destas duas notas. Caso não compareça à prova oral a classificação final será 17 valores.

Recuperação de um dos testes
De modo a reunir as condições de aprovação (média final maior ou igual a 10 e classificação em ambos os testes maior ou igual a 6.5 valores), um estudante que tenha classificação maior ou igual a 8.0 num dos testes tem a opção de realizar a recuperação de um e um só dos testes, no mesmo dia e hora do exame de época normal.
Um estudante que tenha tido nota inferior a 8.0 num dos testes, não o tenha podido realizar ou tenha desistido, só poderá realizar a recuperação desse teste.
Um estudante aprovado não pode realizar a recuperação de um teste com vista a melhoria de nota.
Para realizar a recuperação de um teste o estudante terá de se inscrever, nos moldes e prazos que serão indicados atempadamente.

Avaliação por Exames
Os estudantes que optem por não realizar a avaliação contínua, ou que, tendo optado pela mesma, não tenham obtido aprovação, poderão comparecer nas épocas regulares de exame.

A avaliação tendo por base a realização de exames segue as regras habituais, com as seguintes condições:
- se a nota do exame (arredondada às unidades) for maior ou igual a 10 e inferior a 18, o estudante é aprovado com nota final igual à nota do exame (arredondada às unidades);
- se a nota do exame (arredondada às unidades) for maior ou igual a 18, o estudante terá que apresentar-se a uma prova oral, obtendo como nota final a média das classificações da referida prova oral e do exame. Caso não compareça à prova oral a classificação final será de 17 valores. 

Observação
Os testes têm a duração de 2 horas e os exames de 2 horas e 30 minutos, são de desenvolvimento e cotados na escala de 0 a 20.

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação Contínua
Sejam NT1 e NT2 as classificações dos testes, arredondadas às décimas e CF=0.5xNT1+0.5xNT2 (arredondada às unidades):
- se CF for maior ou igual a 10 e inferior a 18, o estudante é aprovado com nota final igual a CF, desde que, em qualquer um dos testes, a nota tenha sido maior ou igual a 6.5 valores;
- se CF for maior ou igual a 18, o estudante terá de apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média da classificação já obtida e da classificação da prova oral. Caso o estudante não compareça à prova oral, a nota final será 17 valores. 

Avaliação por Exame
Seja E a classificação obtida no exame (arredondada às unidades):
- se E for maior ou igual a 10 e menor do que 18, o estudante é aprovado com nota final igual a E;
- se E for maior ou igual a 18 o estudante terá de apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média da classificação já obtida e da classificação da prova oral. Caso o estudante não compareça à prova oral, a classificação final será 17 valores.

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Estudantes trabalhadores, atletas de alta competição, dirigentes associativos e estudantes ao abrigo da Lei de Liberdade Religiosa deverão, até à segunda semana lectiva do semestre, contactar a responsável pela disciplina, pessoalmente ou pelo e-mail ana.matos@estsetubal.ips.pt, para apresentarem as suas especificidades pertinentes, nos termos previstos nos respectivos diplomas, sob pena das mesmas não poderem ser executadas por falta de condições objectivas.

Melhoria de classificação

De acordo com as Linhas Orientadoras de Avaliação de Desempenho Escolar dos Estudantes do IPS, a melhoria de classificação poderá ocorrer no ano lectivo de inscrição, na época de recurso, ou no ano lectivo seguinte ao de aprovação, em qualquer das épocas de avaliação por exame, à excepção da época especial.

Observações

1. Normas das Avaliações (testes e exames):
É obrigatória a inscrição para as provas até uma semana antes da data da sua realização, a qual é constituída por:
- preenchimento do inquérito específico na página da UC no Moodle;
- aquisição e entrega na Reprografia de um caderno de folhas quadriculadas de prova (com 1 capa e 5 folhas de continuação), com os cabeçalhos por preencher, sendo o nome e o número de estudante registados na folha própria correspondente ao seu curso.
Nas provas é obrigatória a apresentação ao docente do Cartão de Cidadão ou outro documento oficial de identificação.
Nas provas é permitida a consulta de uma folha A4, manuscrita pelo próprio estudante.
Nas provas não é permitida a utilização de máquinas de calcular, nem serão fornecidos tabelas ou formulários.
Nas provas não é permitido o manuseamento ou exibição de telemóveis ou outros meios de comunicação remota (os quais deverão estar desligados), sendo motivo suficiente para a anulação da prova.

2. As normas para a realização de avaliações à distância, caso tal venha a ser necessário, serão atempadamente divulgadas na página da UC no Moodle.

3. Em caso de suspeita de fraude ou outra circunstância que leve à necessidade de confirmação dos conhecimentos evidenciados na resolução de uma prova, o estudante poderá ser chamado a uma sessão, presencial, que incidirá apenas sobre esses conhecimentos. Caso o estudante não compareça a essa sessão, sem a devida justificação, a prova será considerada inválida.

4. De acordo com as normas do IPS, sempre que exista uma situação de fraude comprovada numa prova de avaliação a mesma será anulada ficando o estudante sujeito à aplicação do Regulamento Disciplinar dos Estudantes do IPS.

5. Horário de atendimento aos estudantes: o horário de atendimento será disponibilizado na página da UC no Moodle e realizado à distância, na plataforma Microsoft Teams, nos canais de atendimento de cada docente na equipa Matemática II 21/22, cujo link de acesso será disponibilizado no Moodle. O estudante deverá informar previamente o docente da sua comparência no atendimento. O estudante poderá solicitar atendimento presencial, estando este sujeito a confirmação da sua viabilidade e a marcação prévia com o docente, por e-mail, com pelo menos 24h de antecedência.

6. A comunicação com os estudantes é efectuada exclusivamente para o endereço institucional. Cabe ao estudante consultar a sua área no sistema de informação, bem como gerir e consultar periodicamente a sua conta de correio electrónico no domínio IPS, utilizando-a para a comunicação com os docentes e os serviços do IPS.