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Matemática Discreta

Código:

INF32155

Sigla:

MD

Áreas Científicas
Classificação	Área Científica
OFICIAL	Matemática

Ocorrência: 2023/2024 - 1S

Ativa?	Sim
Página Web:	https://moodle.ips.pt/2324/course/view.php?id=1978
Unidade Responsável:	Departamento de Matemática
Curso/CE Responsável:	Licenciatura em Engenharia Informática

Ciclos de Estudo/Cursos

Sigla	Nº de Estudantes	Plano de Estudos	Anos Curriculares	Créditos UCN	Créditos ECTS	Horas de Contacto	Horas Totais
INF	160	Plano de Estudos	2	-	6	60	162

Língua de trabalho

Português

Objetivos

Como objetivos desta disciplina podem referir-se a solidificação de alguns conhecimentos sobre números inteiros e análise combinatória adquiridos até ao 12º ano de escolaridade bem como a aprendizagem de um novo conjunto de ferramentas matemáticas utilizadas em outras disciplinas do curso. Estes conhecimentos destinam-se, designadamente, à compreensão de modelos matemáticos discretos muito comuns no estudo de variados sistemas tecnológicos e também no funcionamento de muitas organizações industriais e de serviços. Insistir-se-á no desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo dos alunos, devendo, neste sentido, os conteúdos ser também encarados como um meio para se atingir este fim. O objetivo desta UC é o que os alunos adquiram e apliquem os conceitos descritos nos conteúdos programáticos e que podem ser subdivididos nos resultados de aprendizagem descritos em seguida.

Resultados de aprendizagem e competências

No final da unidade curricular o estudante deve ser capaz de:
1. Contar elementos de um conjunto finito;
2. Usar o teorema binomial e o princípio de distribuição na resolução de problemas;
3. Usar o princípio de indução para provar propriedades dos números inteiros;
4. Identificar e aplicar o algoritmo de Euclides para resolução de equações lineares inteiras e na decomposição de um número em factores primos;
5. Operar com congruências e resolver congruência lineares;
6. Determinar restos inteiros através da aplicação do teorema chinês dos restos, do teorema de Euler e do teorema de Fermat;
7. Identificar e representar matricialmente grafos orientados e não orientados;
8. Aplicar diferentes técnicas de grafos na resolução dos seguintes problemas: problema do caminho mais curto, problema da determinação de árvores de custo mínimo e problema da coloração de grafos.

Modo de trabalho

Presencial

Pré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)

Conhecimentos adquiridos até ao 12º ano de escolaridade.

Programa

1. Combinatória
Cardinal de um conjunto finito, princípios básicos de contagem (adição e produto). Arranjos, permutações e combinações. Teorema binomial. Princípios da inclusão-exclusão e da distribuição.
2. Aritmética Racional 
a. Aritmética dos Inteiros: axiomática dos inteiros, princípio de indução, divisão inteira, divisibilidade, máximo divisor comum, algoritmo de Euclides, números primos entre si, menor múltiplo comum, equação linear diofantina, números primos, teorema fundamental da aritmética, considerações computacionais.
b. Aritmética Modular: congruências e suas propriedades, resolução de congruências lineares; teorema chinês dos restos; teorema de Euler e (pequeno) teorema de Fermat.
3. Grafos 
Conceitos básicos, caminhos e ciclos, conectividade; contagem do número de passeios, o problema do caminho mais curto. Noção de árvore, o problema da árvore de suporte de custo mínimo. Coloração de grafos.

Bibliografia Obrigatória

Carlos Luz; Sebenta de Matemática Discreta
Artur Brito da Cruz; Slides Teóricos
Artur Brito da Cruz; Slides dos Exercícios

Bibliografia Complementar

N. L. Biggs; Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press, 2008
D. M. Cardoso, J. Szymański e M. Rostami; Matemática Discreta, Escolar editora, 2009
R. L. Graham, D. E. Knuth e O. Parashnik; Concrete Mathematics, A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, MA, 1989
L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi; Discrete Mathematics, Springer, 2009
S. Lipschutz, M. Lipson; Matemática Discreta, Colecção Schaum, 1987
K. H. Rosen; , Discrete Mathematics and Its Applications, 6ª edição, McGraw-Hill, 2007

Métodos de ensino e atividades de aprendizagem

A UC Matemática Discreta tem uma carga de 4h/semana de aulas são teórico-práticas
Ensino presencial
As aulas presenciais terão duas componentes:
• Uma parte expositiva, onde são apresentados os conceitos fundamentais das diferentes rubricas do programa juntamente com a demonstração dos principais resultados, pretendendo-se deste modo que os alunos adquiram uma visão global dos temas abordados e suas interligações;
• Uma parte prática, onde os alunos aplicarão os conhecimentos adquiridos melhorando a sua compreensão das matérias lecionadas.

A UC terá toda a informação e materiais necessários centralizados na plataforma MOODLE. Os objetivos mínimos serão apresentados semanalmente, acompanhados com documentos que permitam que o aluno consiga atingir esses objetivos. Estes documentos consistirão em sebentas (são as sebentas da UC, que contêm todo o conteúdo programático), apresentações em PDF onde são expostos os conteúdos da semana, com variadíssimos exemplos e exercícios resolvidos, a que acresce folhas com exercícios adicionais resolvidos e exercícios para resolver. Sempre que necessário, também serão incluídas ferramentas online para complementar a exposição da matéria, nomeadamente vídeos Youtube, utilização de sites, como por exemplo Wolframalpha, etc.

Tipo de avaliação

Avaliação distribuída com exame final

Componentes de Avaliação

Designação	Peso (%)
Teste	100,00
Total:	100,00

Componentes de Ocupação

Designação	Tempo (Horas)
Estudo autónomo	102,00
Frequência das aulas	60,00
Total:	162,00

Obtenção de frequência

O aluno pode optar quer pela avaliação por testes quer pela avaliação simplesmente por exame:
Avaliação por Testes
A avaliação por testes consiste na realização de 2 (dois) testes.
A classificação final CF à disciplina será calculada através da média aritmética dos dois testes arredondada às unidades e as condições de aprovação são:
Se CF for maior ou igual a 17, o aluno tem que apresentar-se a uma prova oral. A nota final é dada pela média aritmética (arredondada às unidades) de CF e da classificação obtida nessa prova. Caso não compareça à prova oral, a classificação final será de 16 valores;
Se CF for maior ou igual a 10 e inferior a 17, o aluno é aprovado com nota final CF, desde que a classificação em ambos os testes tenha sido igual ou superior a 7,0 valores.

Avaliação por Exames
A avaliação tendo por base a realização de exames segue as regras habituais, ou seja, os alunos que optarem por não realizar a avaliação contínua, ou que, tendo optado pela mesma, não tenham obtido aprovação, poderão comparecer nas épocas regulares de exame.
Sendo E a classificação obtida no exame (arredondada às unidades), se E for maior ou igual a 17, o aluno terá que apresentar-se a uma prova oral, obtendo como nota final a média das classificações da referida prova oral e do exame escrito. Se o aluno não comparecer à prova oral, a classificação final será de 16 valores;
Se E (arredondada às unidades) for maior ou igual a 10 e inferior a 17, o aluno é aprovado com nota final E.

Fórmula de cálculo da classificação final

Avaliação por Testes
Se (T1 e T2>=7) e T1+T2<=32, então CF=(T1+T2)/2
Se (TE e T2>=7) e T1+T2>32, CF=(((T1+T2)/2)+PO)/2

Avaliação por Exames
Se E<17, CF=E
Se E>=17, CF=(E+PO)/2

Avaliação especial (TE, DA, ...)

Os estudantes abrangidos pelo artigo 217.° do Regulamento das Atividades Académicas e Linhas Orientadoras de Avaliação e Desempenho Escolar dos Estudantes do Instituto Politécnico de Setúbal (Setembro 2018) deverão, até à segunda semana do início do semestre, contactar a responsável pela unidade curricular, pessoalmente ou pelo e-mail artur.cruz@estsetubal.ips.pt, para apresentarem as suas especificidades pertinentes, nos termos previstos nos respetivos diplomas sob pena das mesmas não poderem ser executadas por falta de condições objetivas.

Observações

As avaliações sumativas serão preferencialmente presenciais.
Caso as avaliações sejam à distância, para qualquer momento de avaliação (mini-teste, teste ou exame), um aluno poderá ser chamado a realizar uma prova oral para confirmar os conhecimentos revelados nessas avaliações sumativas. A classificação da prova oral substitui a classificação do momento de avaliação em causa. Caso o aluno não compareça à prova oral, sem a devida justificação, a avaliação em causa será anulada.
Os testes têm a duração de 1 hora e 30 minutos, os exames terão a duração de 2 horas e trinta minutos e são ambos de desenvolvimento.

Moodle:

https://moodle.ips.pt/2324/course/view.php?id=1978

Password: MD2324

Horário de dúvidas no período de aulas:

Prof. Artur Cruz
2ª-feira: 15h30-16h30
3ª-feira: 15h30-16h30
6ª-feira 13h30-14-30

Prof.ª Ana Barros
2ª-feira 16h-17h30
3ª-feira 9h-10h30