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Matemática Aplicada
| Código: | LEM21112 | Sigla: | MA |
| Áreas Científicas | |
|---|---|
| Classificação | Área Científica |
| OFICIAL | Matemática |
Ocorrência: 2023/2024 - 1S
| Ativa? | Sim |
| Página Web: | https://moodle.ips.pt/2324/course/view.php?id=1796 |
| Unidade Responsável: | Departamento de Matemática |
| Curso/CE Responsável: | Licenciatura em Engenharia Mecânica |
Ciclos de Estudo/Cursos
| Sigla | Nº de Estudantes | Plano de Estudos | Anos Curriculares | Créditos UCN | Créditos ECTS | Horas de Contacto | Horas Totais |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| EM | 170 | Plano de Estudos | 2 | - | 6 | 60 | 162 |
Docência - Responsabilidades
| Docente | Responsabilidade |
|---|---|
| Carla Cristina Morbey Rodrigues | Responsável |
Docência - Horas
| Ensino Teórico-Prático: | 4,00 |
| Tipo | Docente | Turmas | Horas |
|---|---|---|---|
| Ensino Teórico-Prático | Totais | 3 | 12,00 |
| Ana Isabel Celestino de Matos | 8,00 | ||
| Carla Cristina Morbey Rodrigues | 4,00 |
Língua de trabalho
PortuguêsObjetivos
Os objectivos da unidade curricular Matemática Aplicada consistem na aprendizagem de áreas chave da matemática, fundamentais para a compreensão, modelação, previsão, identificação e resolução de problemas da engenharia em geral, fornecendo instrumentos poderosos para uma abordagem menos elementar das unidades curriculares clássicas existentes nos curricula de engenharia.
Resultados de aprendizagem e competências
Em cada tópico, os estudantes deverão adquirir as seguintes competências:
1. Integrais Múltiplos
Identificar e representar geometricamente a região de integração. Reconhecer a ordem de integração mais eficaz.
Efectuar, quando necessário, a mudança de variáveis mais adequada para cada integral múltiplo.
Calcular áreas, volumes, massas, centros de massa e momentos de inércia, utilizando integrais múltiplos.
2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Reconhecer e resolver os seguintes cinco tipos de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem: EDO de variáveis separáveis; EDO homogénea; EDO linear; EDO de Bernoulli; EDO total exacta.
Identificar o polinómio característico de uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes e determinar e classificar as raízes desse polinómio.
Determinar a solução geral de uma EDO linear homogénea de ordem n com coeficientes constantes.
Determinar a solução geral de uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes, não homogénea, em certos casos específicos.
3. Transformadas de Laplace
Calcular a transformada de Laplace de uma função recorrendo à definição.
Determinar, recorrendo às propriedades, transformadas de Laplace directas e inversas.
Aplicar as transformadas de Laplace na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
4. Séries
4.1. Séries Numéricas
Identificar as séries geométricas, aritméticas e telescópicas, estudar a sua natureza e calcular a soma quando convergentes.
Identificar uma série de termos não negativos e aplicar o mais indicado dos seguintes critérios para determinar a sua natureza: Critério do Integral; 1º e 2º Critérios de Comparação; Critério da Razão; Critério da Raiz.
Identificar uma série alternada e estudar a sua natureza (convergência simples/absoluta ou divergência).
4.2. Séries de Potências
Determinar o intervalo de convergência de uma série de potências.
Representar funções em série de potências de (x-a), se necessário recorrendo ao Teorema da Derivação e Primitivação de séries de potências.
5. Séries de Fourier
Determinar os coeficientes de Fourier e a série de Fourier de uma função periódica.
Interpretar geometricamente funções periódicas, funções periódicas pares/ímpares e efectuar extensões periódicas pares/ímpares.
1. Integrais Múltiplos
Identificar e representar geometricamente a região de integração. Reconhecer a ordem de integração mais eficaz.
Efectuar, quando necessário, a mudança de variáveis mais adequada para cada integral múltiplo.
Calcular áreas, volumes, massas, centros de massa e momentos de inércia, utilizando integrais múltiplos.
2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Reconhecer e resolver os seguintes cinco tipos de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem: EDO de variáveis separáveis; EDO homogénea; EDO linear; EDO de Bernoulli; EDO total exacta.
Identificar o polinómio característico de uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes e determinar e classificar as raízes desse polinómio.
Determinar a solução geral de uma EDO linear homogénea de ordem n com coeficientes constantes.
Determinar a solução geral de uma EDO linear de ordem n com coeficientes constantes, não homogénea, em certos casos específicos.
3. Transformadas de Laplace
Calcular a transformada de Laplace de uma função recorrendo à definição.
Determinar, recorrendo às propriedades, transformadas de Laplace directas e inversas.
Aplicar as transformadas de Laplace na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
4. Séries
4.1. Séries Numéricas
Identificar as séries geométricas, aritméticas e telescópicas, estudar a sua natureza e calcular a soma quando convergentes.
Identificar uma série de termos não negativos e aplicar o mais indicado dos seguintes critérios para determinar a sua natureza: Critério do Integral; 1º e 2º Critérios de Comparação; Critério da Razão; Critério da Raiz.
Identificar uma série alternada e estudar a sua natureza (convergência simples/absoluta ou divergência).
4.2. Séries de Potências
Determinar o intervalo de convergência de uma série de potências.
Representar funções em série de potências de (x-a), se necessário recorrendo ao Teorema da Derivação e Primitivação de séries de potências.
5. Séries de Fourier
Determinar os coeficientes de Fourier e a série de Fourier de uma função periódica.
Interpretar geometricamente funções periódicas, funções periódicas pares/ímpares e efectuar extensões periódicas pares/ímpares.
Modo de trabalho
PresencialPré-requisitos (conhecimentos prévios) e co-requisitos (conhecimentos simultâneos)
Conhecimentos adquiridos nas unidades curriculares (UC) Matemática I e Matemática II das actuais licenciaturas (note-se que Elementos de Matemática I e Elementos de Matemática II dos CTeSP são, em conjunto, equivalentes a Matemática I) ou nas UC Análise Matemática I, Análise Matemática II e Álgebra Linear e Geometria Analítica de anteriores planos curriculares de licenciatura.Programa
1. Integrais Múltiplos
Integrais duplos e triplos: definição, propriedades e aplicações. Mudança de variável em integrais duplos e triplos.
2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Equações diferenciais ordinárias: definições e exemplos. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem: técnicas de resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis, homogéneas, lineares, de Bernoulli e totais exatas. Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n com coeficientes constantes: propriedades e técnica de resolução.
3. Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace e Transformada de Laplace inversa: definições e propriedades. Aplicação à resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
4. Séries
4.1. Séries Numéricas
Série convergente, propriedades e critérios de convergência. Convergência absoluta.
Integrais duplos e triplos: definição, propriedades e aplicações. Mudança de variável em integrais duplos e triplos.
2. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Equações diferenciais ordinárias: definições e exemplos. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem: técnicas de resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis, homogéneas, lineares, de Bernoulli e totais exatas. Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n com coeficientes constantes: propriedades e técnica de resolução.
3. Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace e Transformada de Laplace inversa: definições e propriedades. Aplicação à resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
4. Séries
4.1. Séries Numéricas
Série convergente, propriedades e critérios de convergência. Convergência absoluta.
4.2. Séries de Potências
Domínio de convergência; derivação e integração de séries de potências. Série de Taylor. Representação de funções em série de potências.
5. Séries de Fourier
Definição e desenvolvimento de uma função em série de Fourier: cálculo dos coeficientes; séries de Fourier de funções usuais; propriedades das séries de Fourier.
Domínio de convergência; derivação e integração de séries de potências. Série de Taylor. Representação de funções em série de potências.
5. Séries de Fourier
Definição e desenvolvimento de uma função em série de Fourier: cálculo dos coeficientes; séries de Fourier de funções usuais; propriedades das séries de Fourier.
Bibliografia Obrigatória
Apontamentos e exercícios elaborados por docentes do DMAT; disponíveis na página Moodle da UCJames Stewart; Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999. ISBN: 0-534-35949-3
Gabriel E. Pires; Cálculo diferencial e integral em IR^n, 2ª edição, IST press, 2014
Bibliografia Complementar
E. Kreyszig; Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, 2011Azenha & M. A. Jerónimo; Elementos de cálculo diferencial e integral em IR e IRn, McGraw Hill, 2006
H. Anton; Calculus: A New Horizon, Vol. 1, 6th edition, John Wiley & Sons, 1999
M. A. Ferreira; Integrais Múltiplos Equações Diferenciais - Exercícios, 1ª edição, Edições Sílabo, 1995
M. O. Baptista, M. A. Silva; Equações Diferenciais e Séries - Exercícios, 1ª edição, Edições Sílabo, 1994
B. Demidovich; Problemas e Exercícios de Análise Matemática, McGraw-Hill, 1993
N. Piskounov; Cálculo diferencial e integral, Vol. I e Vol. 2, Edições Lopes da Silva, 1977
T. M. Apostol; Cálculo Vol. I e Vol. II, Reverté, 1993
J. Campos Ferreira; Introdução à Análise Matemática, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 1991
G. B. Thomas, M. D. Weir, J Hass; Cálculo, Vol. II, 11ª edição, Pearson Education, 2009
João P. Santos; Cálculo numa variável real, IST press, 2016 (não disponível na Biblioteca da EST Setúbal)
Pedro M. Girão; Introdução à análise complexa, séries de Fourier e equações diferenciais, IST press, 2014 (não disponível na Biblioteca da EST Setúbal)
Gabriel E. Pires; Cálculo diferencial e integral em IR^n, 2ª edição, IST press, 2014 (não disponível na Biblioteca da EST Setúbal)
Vasco Simões; Análise Matemática 2, Edições Orion, 2011 (não disponível na Biblioteca da EST Setúbal)
Observações Bibliográficas
Todos os livros indicados na Bibliografia Complementar estão disponíveis na Biblioteca da ESTSetúbal, com excepção dos livros onde é explicitamente indicado o contrário.Métodos de ensino e atividades de aprendizagem
A UC Matemática Aplicada tem uma carga lectiva de 4h/semana de aulas teórico-práticas, nas quais serão apresentados os conceitos fundamentais dos diferentes assuntos do programa da UC, demonstrados alguns resultados e resolvidos exercícios que ilustram os tópicos abordados.
Nas aulas, pretende-se que os estudantes adquiram uma visão global dos temas e das suas interligações, acompanhada de uma formulação correcta e objectiva das definições matemáticas, o enunciado preciso das proposições e a prática do raciocínio dedutivo, assim como conheçam algumas aplicações às engenharias das várias noções apresentadas.
A consolidação dos conhecimentos por parte dos estudantes basear-se-á numa nova leitura dos materiais disponibilizados e na realização autónoma de exercícios, recorrendo ao material de estudo recomendado na bibliografia da UC e ao apoio dos docentes da UC nos respectivos horários de atendimento.
Os materiais de apoio, assim como toda a informação, serão disponibilizados na página da UC no Moodle.
Tipo de avaliação
Avaliação por exame finalComponentes de Avaliação
| Designação | Peso (%) |
|---|---|
| Exame | 100,00 |
| Total: | 100,00 |
Componentes de Ocupação
| Designação | Tempo (Horas) |
|---|---|
| Estudo autónomo | 102,00 |
| Frequência das aulas | 60,00 |
| Total: | 162,00 |
Obtenção de frequência
O aproveitamento à UC Matemática Aplicada pode ser obtido por dois processos: avaliação contínua e avaliação por exame.
Avaliação Contínua
A avaliação contínua terá por base a realização de dois testes.
Sendo NT1 e NT2 as classificações dos testes, arredondadas às décimas, a classificação final à UC, CF, será calculada através da média das classificações dos dois testes, CF=0.5xNT1+0.5xNT2, arredondada às unidades.
As condições de aprovação são as seguintes:
Recuperação de um teste
Avaliação por Exame
A avaliação por exame seguirá as regras habituais (ou seja, os estudantes que optarem por não realizar a avaliação contínua, ou que, tendo optado pela mesma, não tenham obtido aprovação, poderão comparecer nas épocas regulares de exame).
Sendo E a classificação obtida no exame (arredondada às unidades):
Observação
Os testes terão a duração de duas horas e os exames de duas horas e trinta minutos, sendo todos de desenvolvimento.
Avaliação Contínua
A avaliação contínua terá por base a realização de dois testes.
Sendo NT1 e NT2 as classificações dos testes, arredondadas às décimas, a classificação final à UC, CF, será calculada através da média das classificações dos dois testes, CF=0.5xNT1+0.5xNT2, arredondada às unidades.
As condições de aprovação são as seguintes:
- se CF for maior ou igual a 10 e inferior a 18, o estudante é aprovado com nota final igual a CF, desde que, em qualquer um dos testes, a nota tenha sido maior ou igual a 7.5 valores;
- se CF for maior ou igual a 18, o estudante terá de apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média da classificação já obtida e da classificação da prova oral. Caso o estudante não compareça à prova oral, a nota final será 17 valores.
Recuperação de um teste
- De modo a reunir as condições de aprovação (média final maior ou igual a 10 e classificação em ambos os testes maior ou igual a 7.5 valores), um estudante poderá realizar a recuperação de um e um só dos testes, no mesmo dia e hora do exame de época normal.
- Um estudante poderá recuperar um teste mesmo que não o tenha realizado ou tenha desistido.
- Não será possível realizar a recuperação de um teste com vista a melhoria de nota.
- Para realizar a recuperação de um teste o estudante terá de se inscrever, nos moldes e prazo que serão indicados atempadamente.
Avaliação por Exame
A avaliação por exame seguirá as regras habituais (ou seja, os estudantes que optarem por não realizar a avaliação contínua, ou que, tendo optado pela mesma, não tenham obtido aprovação, poderão comparecer nas épocas regulares de exame).
Sendo E a classificação obtida no exame (arredondada às unidades):
- se E for maior ou igual a 10 e menor do que 18, o estudante é aprovado com nota final igual a E.
- se E for maior ou igual a 18 o estudante terá de apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média da classificação já obtida e da classificação da prova oral. Caso o estudante não compareça à prova oral, a classificação final será 17 valores.
Observação
Os testes terão a duração de duas horas e os exames de duas horas e trinta minutos, sendo todos de desenvolvimento.
Fórmula de cálculo da classificação final
Avaliação Contínua
Sejam NT1 e NT2 as classificações dos testes, arredondadas às décimas e CF=0.5xNT1+0.5xNT2 (arredondada às unidades).
Avaliação por Exame
Sendo E a classificação obtida no exame (arredondada às unidades):
Sejam NT1 e NT2 as classificações dos testes, arredondadas às décimas e CF=0.5xNT1+0.5xNT2 (arredondada às unidades).
- se CF for maior ou igual a 10 e inferior a 18, o estudante é aprovado com nota final igual a CF, desde que, em qualquer um dos testes, a nota tenha sido maior ou igual a 7.5 valores;
- se CF for maior ou igual a 18, o estudante terá de apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média da classificação já obtida e da classificação da prova oral. Caso o estudante não compareça à prova oral, a nota final será 17 valores.
Avaliação por Exame
Sendo E a classificação obtida no exame (arredondada às unidades):
- se E for maior ou igual a 10 e menor do que 18, o estudante é aprovado com nota final igual a E;
- se E for maior ou igual a 18 o estudante terá de apresentar-se a uma prova oral, sendo a nota final a média da classificação já obtida e da classificação da prova oral. Caso o estudante não compareça à prova oral, a classificação final será 17 valores.
Avaliação especial (TE, DA, ...)
Os estudantes abrangidos pelo artigo 256º do Regulamento das Actividades Académicas e Linhas Orientadoras de Avaliação e Desempenho Escolar dos Estudantes do IPS devem, até à segunda semana do início do semestre, contactar a responsável pela unidade curricular, através do email carla.rodrigues@estsetubal.ips.pt, para apresentarem as suas especificidades pertinentes, nos termos previstos nos respectivos diplomas, sob pena das mesmas não poderem ser executadas por falta de condições objectivas.
Melhoria de classificação
De acordo com o Artigo 11º das Linhas Orientadoras de Avaliação de Desempenho Escolar dos Estudantes do IPS, a melhoria de classificação poderá ocorrer no ano lectivo de inscrição, na época de recurso, ou no ano lectivo seguinte ao de aprovação, em qualquer das épocas de avaliação por exame, à excepção da época especial.
Observações
Normas das Provas de Avaliação (testes e exames)
- É obrigatória a inscrição para as provas até uma semana antes da data da sua realização, a qual é constituída por:
- preenchimento do inquérito específico na página da UC no Moodle;
- aquisição e entrega na Reprografia de um caderno de folhas quadriculadas de prova (com 1 capa e 5 folhas de continuação), com os cabeçalhos por preencher, sendo o nome e o número de estudante registados na folha própria correspondente ao seu curso.
- É obrigatória a apresentação ao docente do Cartão de Cidadão ou outro documento oficial de identificação.
- O abandono da sala em caso de desistência só poderá ter lugar uma hora após o início do teste/exame e implicará a entrega definitiva da prova.
- É permitida a consulta de formulários fornecidos pelos docentes, iguais aos disponibilizados na página da UC no Moodle.
- Não é permitido o uso de máquinas de calcular.
- Não é permitido o manuseamento ou exibição de telemóveis, ou quaisquer outros meios de comunicação remota, durante as provas de avaliação, sendo motivo suficiente para a anulação da prova, independentemente de ter havido ou não utilização dos mesmos.
- As provas são individuais pelo que é expressamente proibido qualquer tipo de comunicação ou consulta a terceiros durante a realização das mesmas, à excepção dos docentes que estejam a vigiar as provas.
Observação:
Em circunstâncias que levem à necessidade de confirmação dos conhecimentos evidenciados na resolução de uma prova, o estudante poderá ser chamado a uma sessão, presencial, que incidirá apenas sobre esses conhecimentos. Caso o estudante não compareça a essa sessão, sem a devida justificação, a prova será considerada inválida.
De acordo com as regras do IPS, sempre que se verifique uma situação comprovada de fraude nas avaliações, a mesma será cancelada e o aluno ficará sujeito à aplicação do Regulamento Disciplinar do IPS para Estudantes.
Horário de atendimento aos estudantes:
O horário de esclarecimento de dúvidas será disponibilizado na página da UC no Moodle
A comunicação com os estudantes é efectuada exclusivamente para o endereço institucional. Cabe ao estudante consultar a sua área no sistema de informação, bem como gerir e consultar periodicamente a sua conta de correio electrónico no domínio IPS, utilizando-a para a comunicação com os docentes e os serviços do IPS.
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